Question

如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF.

(1)求证：DF＝2CE；

(2)若BC＝3，sinB＝，求线段BF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）线段BF的长为

【解析】试题分析：（1）连接OE交DF于G，首先证明四边形EGFC是矩形，再根据垂径定理即可证明．（2）设OE=x，由OE∥BC，得△AOE∽△ABC，得=，列出方程求出x，再在Rt△BDF中，由sinB=，推出cosB==，即可解决问题．

试题解析：(1)连接OE，交DF于点G，

∵AC切⊙O于点E，

∴∠CEO＝90°.

又∵BD为⊙O的直径，

∴∠DFC＝∠DFB＝90°.

∵∠C＝90°，

∴四边形CEGF为矩形．

∴CE＝GF，∠EGF＝90°，

∴DF＝2CE

(2)在Rt△ABC中，

∵∠C＝90°，BC＝3，sinB＝，

∴AB＝5，设OE＝x，

∵OE∥BC，

∴△AOE∽△ABC.

∴，

∴，

∴x＝，

∴BD＝.

在Rt△BDF中，∵∠DFB＝90°，sinB＝，

∴cosB＝＝，

∴BF＝

点睛：本题考查切线的性质、矩形的判定和性质、垂径定理、三角函数等知识，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和锐角三角函数解答本题.