Question

已知AB是⊙O的一条弦，点C是优弧上一点．

（1）如图①，若点P是弦AB与所围成的弓形区域（不含弦AB与）内一点．求证：∠APB＞∠ACB；

（2）如图①，若点P在弦AB上方，且满足∠APB=∠ACB，则点P在上吗？为什么？

（3）请在图②中直接用阴影部分表示出在弦AB与所围成的弓形区域内满足∠ACB＜∠APB＜2∠ACB的点P所在的范围．

Answer

（1）证明见解析；

（2）在，理由见解析；

（3）如图见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意画出相应的图形，根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，可以证明结论成立，本题得以解决；（2）点P在上，利用（1）的结论和同（1）的方法即可得出结论；（3）根据题意和第（1）问，可以画出满足∠ACB<∠APB<2∠ACB的点P所在的范围，本题得以解决

试题解析：(1)证明：如下图②所示，

延长AP交O于点Q，连接BQ.

则∠PQB=∠ACB，

∵∠APB为△PQB的一个外角，

∴∠APB>∠PQB，

即∠APB>∠ACB；

(2)点P在上，

理由：由(1)知,点P是弦AB与所围成的弓形区域(不含弦AB与)内一点，∠APB>∠ACB，

同(1)的方法，点P在弦AB上半部分时，利用三角形的外角，得，∠APB<∠ACB，

∴点P在上，

(3)

连接AO，BO，延长BO，在BO的延长线上取一点P连接AP，

∵∠AOB是△APO的外角，

∴∠AOB>∠APB，

∵∠AOB是在O中劣弧AB所对的圆心角，∠ACB是O中劣弧AB所对的圆周角，

∴∠AOB=2∠ACB，

∴点P所在的范围如下图③所示，