Question

如图Ⅰ，在第四象限的矩形ABCD，点A与坐标原点O重合，且AB=4，AD=3.如图Ⅱ，矩形ABCD沿OC方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从B点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边BC经过点C向点D运动，当点Q到达点D时，矩形ABCD和点Q同时停止运动，设点Q运动的时间为t秒.

（1）在图Ⅰ中，点C的坐标(____),在图Ⅱ中，当t=2时，点A坐标(______),Q坐标(______)

（2）当点Q在线段BC或线段CD上运动时，求出△ACQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围;

（3）点Q在线段BC或线段CD上运动时，作QM⊥x轴，垂足为点M，当△QMO与△ACD相似时，求出相应的t值.

Answer

(1)C(4,-3)； A()， Q()；

（2）①当Q在BC上，即0≤t≤3时，S=6-2t，②当Q在CD上，即33,(舍去)；

②当点Q在CD上时，连接OQ，而DQ=3+4−t=7−t=EM，

∴OM=t+7−t=7−t，

∴当时,△OMQ∽△CDA，

此时， ，解得t=3；

当时,△OMQ∽△ADC，

此时， 解得t=>7，(舍去)

综上所述，当△QMO与△ACD相似时，t的值为3秒。

点睛：本题属于相似形综合题，主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角形面积的计算等知识的综合运用；解题时注意：需要作辅助线构造相似三角形以及进行分类讨论，由相似三角形得出比例式是解题的关键.