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如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,E是⊙O上一点,若...

如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,E是⊙O上一点,若⊙O的直径为6cm,且∠AED=45°.

(1)判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由;

(2)求图中阴影部分的面积;

(3)若EF=1cm,求DF的长.

 

(1)CD与⊙O相切,理由见解析; 阴影部分的面积为(54-9π)cm2; (3)DF的长为 【解析】试题分析:(1)连接OD、DB,根据圆周角定理得到∠ADB=90°,∠ABD=∠AED=45°,则△ADB为等腰直角三角形,所以DO⊥AB,再根据平行四边形的性质得DC∥AB,所以DO⊥DC,于是可根据切线的判定定理得到DC为 O的切线;(2)根据平行四边形的性质得DC=AB=12cm,然后根据扇形的面积公式和阴影部分面积=S梯形DOBC-S扇形BOD进行计算;(3)设OF=a,DF=b,由相交弦定理得到EF•DF=AF•FB,即b=(3+a)(3-a)①,又b2-a2=9②,解方程组即可解决问题. 试题解析:(1)CD与O相切,理由如下: 连接OD、DB,如图, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°, ∵∠ABD=∠AED=45°, ∴△ADB为等腰直角三角形, ∴DO⊥AB, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC∥AB, ∴DO⊥DC, ∴DC为O的切线; (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC=AB=12cm, ∴阴影部分面积=S梯形DOBC−S扇形BOD =×(6+12)×6−=(54−9π)cm2; (3)设OF=a,DF=b,由相交弦定理得到EF⋅DF=AF⋅FB, ∴b=(3+a)(3−a)① 又∵b2−a2=9②, 由①②得到b=−或 (舍弃), ∴DF=. 点睛:本题考查了切线的判定定理:经过颁奖的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,页考查了平行四边形的性质和扇形的面积公式,学会用分割法求面积,相交用方程组的思想思考问题.  
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