Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）当t=10时，▱AEFD是菱形；（3）当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；

当t=时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°），理由见解析.

【解析】试题分析：（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；

（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；

（3）分两种情况讨论即可求解．

【解答】（1）证明：∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．

∵CD=4t，AE=2t，

又∵在直角△CDF中，∠C=30°，

∴DF=CD=2t，

∴DF=AE；

【解析】
（2）∵DF∥AB，DF=AE，

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，

即60﹣4t=2t，

解得：t=10，

即当t=10时，▱AEFD是菱形；

（3）当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；

当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下：

当∠EDF=90°时，DE∥BC．

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

∵CD=4t，

∴DF=2t=AE，

∴AD=4t，

∴4t+4t=60，

∴t=时，∠EDF=90°．

当∠DEF=90°时，DE⊥EF，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴AD∥EF，

∴DE⊥AD，

∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，

∵∠A=60°，

∴∠DEA=30°，

∴AD=AE，

AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF=CD=2t，

∴60﹣4t=t，

解得t=12．

综上所述，当t=时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．