Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：△AFE≌△DBE；

（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF是不是菱形？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形ADCF是菱形，证明见解析

【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质可得∠AFE=∠DBE，然后利用AAS判定△AFE≌△DBE即可；

（2）首先证明四边形ADCF是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，进而可得四边形ADCF是菱形．

试题解析：(1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

（2）【解析】
四边形ADCF是菱形，理由如下：

∵△AFE≌△DBE，

∴AF=BD，

∵AD是斜边BC的中线，

∴BD=DC

∴AF=DC．

∵AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，

∴AD=BC=DC，

∴平行四边形ADCF是菱形．

点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．