Question

如图，已知直线分别与x、y轴交于点A和B．

（1）求点A、B的坐标；

（2）求原点O到直线的距离；

（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线相切时，求点M的坐标．

Answer

（1）A点坐标为（4，0），B点坐标（0，3）；

（2）原点O到直线l的距离为．

（3）点M的坐标为M（0， ）或 M（0， ）．

【解析】试题分析：（1）对于直线解析式，分别令x与y为0，求出y与x的值，即可确定出A与B的坐标；
（2）利用点到直线的距离公式求出原点O到直线l的距离即可；
（3）设M坐标为（0，m），确定出OM，分两种情况考虑：若M在B点下边时，BM=3-m；若M在B点上边时，BM=m-3，利用相似三角形对应边成比例求出m的值，即可确定出M的坐标；

试题解析：

解（1）∵当x=0时，y=3 ，

∴B点坐标（0，3） ．

∵当y=0时，有，解得x=4．

∴A点坐标为（4，0）．

（2）如答图1，过点O作OC⊥AB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离．

在Rt△BOA中，OA=4，0B=3，由勾股定理可得AB=5，

∵，

∴．

∴原点O到直线l的距离为．

（3）如答图2，3，过点M作MD⊥AB交AB于点D，则当圆M与直线 l相切时，MD=2，

在△BOA和△BDM中，∵∠OBA=∠DBM，∠BOA=∠BDM，∴△BOA∽△BDM．

∴，即，解得．

∴或．

∴点M的坐标为M（0， ）或 M（0， ）．

【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键。