Question

如图，反比例函数 (，)的图象与直线相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD．

（1）求k的值；

（2）求点C的坐标；

（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标．

Answer

（1）1；（2）（， ）；（3） M（0，2﹣2）．

【解析】（1）根据A坐标，以及AB=3BD求出D坐标，代入反比例解析式求出k的值；

（2）直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C坐标；

（3）作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于P，则P点即为所求，利用待定系数法求出直线C′D的解析式，进而可得出M点坐标．

【解析】
A（1，3），

∴AB=3，OB=1，

∵AB=3BD，

∴BD=1，

∴D（1，1）

将D坐标代入反比例解析式得：k=1；

（2）由（1）知，k=1，

∴反比例函数的解析式为；y=，【解析】
，

解得：或，

∵x＞0，

∴C（，）；

（3）如图，作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于M，则d=MC+MD最小，

∴C′（﹣，），

设直线C′D的解析式为：y=kx+b，

∴，∴，

∴y=（﹣3+2）x+2﹣2，

当x=0时，y=2﹣2， ∴M（0，2﹣2）．

“点睛”此题考查的是反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．