Question

已知：如图，已知⊙O的半径为1，菱形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，且CD与⊙O相切．

（1）求证：BC与⊙O相切；

（2）求阴影部分面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）S阴影＝

【解析】试题分析：(1) 依据SSS证得△OCD≌△OCB,得到∠OBC＝∠ODC＝90°,所以 BC与⊙O相切;(2) 阴影部分面积等于2S△DOC－S扇形OBD,计算可得出结论.

试题解析：(1)连结OB、OD、OC，

∵ABCD是菱形，∴CD＝CB，

∵OC＝OC，OD＝OB，

∴△OCD≌△OCB，∴∠ODC＝∠OBC，

∵CD与⊙O相切，∴OD⊥CD，

∴∠OBC＝∠ODC＝90°，即OB⊥BC，点B在⊙O上，

∴BC与⊙O相切．

(2) ∵ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，

∵∠DOB与∠A所对的弧都是，∴∠DOB＝2∠A，

由（1）知∠DOB＋∠C＝180°，∴∠DOB＝120°，∠DOC＝60°，

∵OD＝1，∴OC＝

∴S阴影＝2S△DOC－S扇形OBD＝2××1×－＝－