Question

已知点I为△ABC的内心

(1) 如图1，AI交BC于点D，若AB＝AC＝6，BC＝4，求AI的长

(2) 如图2，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N

① 若MN⊥AI，求证：MI²＝BM·CN

② 如图3，AI交BC于点D．若∠BAC＝60°，AI＝4，请直接写出的值

Answer

（1）AI的长是；

（2）①证明见解析；②

【解析】试题分析：(1)、根据内心的性质得出AD为线段BC的中垂线，然后根据Rt△BID的勾股定理得出答案；(2)、首先得出△AMI和△ANI全等，从而得出∠AMN＝∠ANM，然后连接BI和CI，根据角度之间的关系得出△BMI和△INC相似，则NI2＝BM·CN，根据NI=MI得出答案；(3)、过点N作NG∥AD交MA的延长线于G，则∠ANG＝∠AGN＝30° ∴AN＝AG，NG＝然后根据平行线性质得出，然后代入得出答案.

试题解析：(1)

(2) ∵I为△ABC的内心 AI⊥MN ∴△AMI≌△ANI（ASA） ∴∠AMN＝∠ANM

连接BI、CI ∴∠BMI＝∠CNI

设∠BAI＝∠CAI＝α，∠ACI＝∠BCI＝β ∴∠NIC＝90°－α－β

∵∠ABC＝180°－2α－2β ∴∠MBI＝90°－α－β ∴△BMI∽△INC

∴ ∴NI2＝BM·CN ∵NI＝MI ∴MI2＝BM·CN

(3) 过点N作NG∥AD交MA的延长线于G ∴∠ANG＝∠AGN＝30° ∴AN＝AG，NG＝

∵AI∥NG ∴ ∴，得