Question

在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x₁，y₁），点Q的坐标为（x₂，y₂），且x₁≠x₂，y₁≠y₂，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．

（1）已知点A的坐标为（1，0），

①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

（2）正方形RSKT顶点R的坐标为（-1，1），K的坐标为（2，-2），点M的坐标为（m，3），若在正方形RSKT边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．

Answer

（1）①2，②y=x﹣1或y=﹣x+1；（2）1≤m≤7或0≤m≤6

【解析】试题分析：

（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；

②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45°，设直线AC的解析式为；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；

（2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN与x轴的夹角为45°，利用直线平行可以求出m的范围．

试题解析：（1）①∵A（1，0），B（3，1）

由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，

∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；

②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，

又∵点A，C的“相关矩形”为正方形

∴直线AC与x轴的夹角为45°，

设直线AC的解析为：y=x+m或y=﹣x+n

把（1，0）分别y=x+m，

∴m=﹣1，

∴直线AC的解析为：y=x﹣1，

把（1，0）代入y=﹣x+n，

∴n=1，

∴y=﹣x+1，

综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1；

（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，

∵点M，N的“相关矩形”为正方形，

∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°，

∴k=±1，

∵点N在正方形边上，

∴当直线MN与正方形有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形，

当k=1时，

作过R与K的直线与直线MN平行，

将（-1,1）和（2，-2）分别代入y=x+b

得b=2 或b=-4

把M（m，3）代入y=x+2和y=x-4，

得m=1 m=7

∴1≤m≤7，

当k=﹣1时，把(-1,-2) (2,1)代入y=﹣x+b，

∴b=-3 b=3，

把M（m，3）代入y=-x-3和y=-x+3，

得m=0 m=6

∴0≤m≤6；

综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤7或0≤m≤6

【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解相关矩形的定义，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来．