Question

已知，点E、F分别在直线AB，CD上，点P在AB、CD之间，连结EP、FP，如图1，过FP上的点G作GH∥EP，交CD于点H，且∠1=∠2．

（1）求证：AB∥CD；

（2）如图2，将射线FC沿FP折叠，交PE于点J，若JK平分∠EJF，且JK∥AB，则∠BEP与∠EPF之间有何数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，将射线FC沿FP折叠，将射线EA沿EP折叠，折叠后的两射线交于点M，当EM⊥FM时，求∠EPF的度数．

Answer

（1）证明见解析；（2）∠BEP+∠EPF=180º.证明见解析；（3）∠EPF=135º

【解析】试题分析：（1）延长FP交AB于点Q，根据平行线性质可得∠2=∠3，再由∠1=∠2可得∠1=∠3，即可证明结论；（2）过点P作PM∥CD，即可证得JK∥AB∥CD∥PM，根据平行线的性质解答即可；（3）作PG∥AB，MH∥AB，则PG∥MH∥AB∥CD，根据平行线的性质进行分析解答即可．

试题解析：

延长EP交CD于点Q

∵GH∥PE，

∴∠2=∠3.

又∵∠1=∠2，

∴∠1=∠3.

∴AB∥CD.

(2)过点P作PM∥CD，又AB∥CD，∴PM∥AB.

∴∠FPM=∠1，∠EPM=∠2，

∴∠FPE=∠FPM+∠EPM=∠1+∠2.

又∵JK∥AB∥CD,

同理可证:∠FJE=∠CFJ+∠2.

又∵∠FJK=∠CFJ=2∠1=∠3=∠2,

∵∠BEP+∠3=180º,

∴∠BEP+2∠1=180º,

∴∠BEP+2(∠EPF-∠2)=180º,

∴∠BEP+2∠EPF-2∠2=180º,

∴∠BEP+2∠EPF-2(180º-∠BEP)=180º.

即：

（3）作PG∥AB，MH∥AB，则PG∥MH∥AB∥CD.

∵FM⊥EM,∴∠EMF=90º

易证：∠1+∠2=∠EMF=90º,∠EPF=∠3+∠4，

又∵∠3=∠PFM,∠4=∠PEM,

∴∠1=180º-2∠3，∠2=180º-2∠4.

∴180º-2∠3+180º-2∠4=90º，

∴2∠3+2∠4=270º.

∴∠3+∠4=135º，

∴∠EPF=135º

点睛：本题考查平行线的判定和性质，关键是构建平行线，利用平行线的性质进行解答．