Question

已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是矩形；

（2）若AB=4，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由DE∥AC和AE∥BD得到：四边形AODE是平行四边形，由菱形ABCD中AC和BD是对角线得到：AC⊥BD，综合以上两点可得平行四边形AODE是矩形；（2）由∠BCD=120°，AB∥CD得：∠ABC=180°﹣120°=60°，又因为AB=BC得：△ABC是等边三角形，所以OA=×4=2，在菱形ABCD中，AC⊥BD，由勾股定理OB=，由四边形ABCD是菱形得：OD=OB=，所以四边形AODE的面积=OA•OD=2（或）；

试题解析：

（1）∵DE∥AC，AE∥BD，

∴四边形AODE是平行四边形，

∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，

∴平行四边形AODE是矩形，

故，四边形AODE是矩形；

（2）∵∠BCD=120°，AB∥CD，

∴∠ABC=180°﹣120°=60°，

∵AB=BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴OA=×4=2，

∵在菱形ABCD中，AC⊥BD

∴由勾股定理OB=

∵四边形ABCD是菱形，

∴OD=OB=，

∴四边形AODE的面积=OA•OD=2（或）