Question

如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．

（1）求证：DC=DE；

（2）若tan∠CAB=，AB=3，求BD的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）1．

【解析】试题分析：（1）利用切线的性质和等腰三角形的性质可以得出∠DCE=∠E，进而得出答案；

（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的长．

试题解析：（1）连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ACO+∠DCE=90°，又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，∴∠EAD+∠E=90°，∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，故∠DCE=∠E，∴DC=DE；

（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，在Rt△EAD中，∵tan∠CAB=，∴ED=AD=（3+x），由（1）知，DC=（3+x），在Rt△OCD中， ，则，解得： （舍去），，故BD=1．

考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．综合题．