Question

如图（1），抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（x₁<0<x₂），与y轴交于点C(0，-3)，若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标

（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E(0， －)，点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）D1（1，－4），D2（2，－3）；（3）存在， ,△PMN的周长的最大值是

【解析】试题分析:(1)根据题意求出A,B两点坐标，设解析式为交点式，代入点C即可求出；（2）设D（x，x²-2x-3），根据三角形BCD的面积即可求出D点坐标；（3）求出直线AE的表达式，设P(t,t²-2t-3)，用含t的式子表示出PM=PN的长度，利用∽△AEO表示出MN的长度，从而三角形的周长就可以用含t的二次函数来表示，根据二次函数的性质即可求出P的坐标和△PMN的周长的最大值.

试题解析:

(1)在Rt△AOC中，tan∠OAC==3，且OC=3，∴OA=1，A(-1，0).

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴由中点坐标公式可求; ,解得x=3.

∴B（3,0）.

∴可设抛物线的表达式为:y=a(x-3)(x+1)

将C(0,-3)代入上式中，

∴抛物线表达式为：y=(x-3)(x+1)=x²-2x-3.

（3）∵B(3,0)、C（0，-3），

∴BC=

∴

设D（x，x²-2x-3），连接OD,

∴

=

=

=.

解得x₁=1, x₂=2.

∴D(1,-4),(2,-3).

(3)由A(-1，0)、E（0， ）可求：

直线AE的表达式为： .

设P(t,t²-2t-3),则

∴.

作PG⊥MN于G,由PM=PN得:MG=NG=MN,

由∽△AEO 有: ,即

∴MG=PM=NG

∴

∴当,有最大值为,此时 .

点睛:此题以二次函数为背景,综合考查相似三角形的判定与性质,三角形的周长,二次函数的最值,方程思想,函数思想,转化思想等数学知识与数学思想方法,综合性较强.本题通过与△AEO之间的相似关系,运用相似三角形的性质,用函数关系式表示出△PMN的周长是解答此题的关键.