Question

如图，△AOB中，A（－8，0），B（0， ），AC平分∠OAB，交y轴于点C，点P是x轴上一点，⊙P经过点A、C，与x轴于点D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，EC的延长线交x轴于点F，

（1）⊙P的半径为　　　　；

（2）求证：EF为⊙P的切线；

（3）若点H是上一动点，连接OH、FH，当点H在上运动时，试探究是否为定值？若为定值，求其值；若不是定值，请说明理由.

Answer

（1）5；（2）证明见解析；（3）是定值，

【解析】试题分析:(1)根据勾股定理求得AB=，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到AE=AO=8，BE=,在△BEC中，根据勾股定理求得CO=CE=4，再依据△AOC∽△COD求得OD=2，进而求得半径为5；（2）依据角平分线证得PC//AE，得到CP⊥EF；（3）根据△POH∽△PHF求得.

试题解析:

（1）5

（2）证明：连接CP，

∵AP=CP

∴∠PAC=∠PCA

∵AC平分∠OAB

∴∠PAC=∠EAC

∴∠PCA=∠EAC

∴PC//AE

∵CE⊥AB

∴CP⊥EF即EF是⊙P的切线

（3）是定值，

连接PH,

由（1）得AP=PC=PH=5，∵A(-8，0) ∴OA=8 ∴OP=OA-AP=3

在Rt△POC中，

由射影定理可得，∴OF=, ∴PF=PO+OF=

∵, ∴又∵∠HPO=∠FPH

∴△POH∽△PHF

∴,

当H与D重合时， .