Question

如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．

（1）求AC、AD的长；

（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）AC=8，AD=5cm；（2）直线PC与⊙O相切，理由见解析.

【解析】试题分析：(1)、连接BD，根据AB为直径，则∠ACB=∠ADB=90°，根据Rt△ABC的勾股定理求出AC的长度，根据CD平分∠ACB得出Rt△ABD是等腰直角三角形，从而得出AD的长度；(2)、连接OC，根据OA=OC得出∠CAO=∠OCA，根据PC=PE得出∠PCE=∠PEC，然后结合CD平分∠ACB得出∠ACE=∠ECB，从而得出∠PCB=∠ACO，根据∠ACB=90°得出∠OCP=90°，从而说明切线.

试题解析：(1)、①如图，连接BD， ∵AB是直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°，

在RT△ABC中，AC===8cm，

②∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形， ∴AD=AB=×10=5cm；

(2)、直线PC与⊙O相切，

理由：连接OC， ∵OC=OA，∴∠CAO=∠OCA， ∵PC=PE， ∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠CAE+∠ACE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACE=∠ECB，∴∠PCB=∠ACO，∵∠ACB=90°，

∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°， OC⊥PC，

∴直线PC与⊙O相切．

考点：(1)、勾股定理；(2)、直线与圆的位置关系.