Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE.线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．

Answer

DE＝BF，DE⊥BF.理由见解析.

【解析】试题分析：本题首先要给出答案，在说明理由. 连接DB，根据DH是AB的垂直平分线得出∠A=∠DBH，再根据三角形外角的性质得出∠CDB=∠A+∠DBH，故可得出CD=CB．由SAS定理得出△ECD≌△FCB，所以ED=FB，∠DEC=∠BFC，∠DEC+∠FBC=90°，进而可得出结论．

试题解析：

DE＝BF，DE⊥BF.

理由如下：

连接BD，延长BF交DE于点G.

∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝22.5°.

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，

∴∠ABC＝67.5°，

∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°，

∴△BCD为等腰直角三角形，

∴BC＝DC.

又∵CE＝CF，∴Rt△ECD≌Rt△FCB(SAS)，

∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB.

∵∠CFB＋∠CBF＝90°，∴∠CED＋∠CBF＝90°，

∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF.

点睛：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．