Question

如图，点E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,点F在线段AB上运动，AD=4cm，BC=3cm，且AD∥BC.

（1）你认为AE和BE有什么位置关系？并验证你的结论；

（2）当点F运动到离点A多少厘米时，△ADE和△AFE全等？为什么？

（3）在（2）的情况下，此时BF=BC吗？证明你的结论并求出AB的长.

Answer

（1）AE⊥BE；（2）当点F运动到离点A为4cm（即AF=AD=4cm）时，△ADE≌△AFE；（3）BF=BC；

【解析】试题分析：(1)、首先根据角平分线的性质得出∠EAB+∠EBA=(∠DAB+∠ABC)，根据平行线的性质可以得出∠EAB+∠EBA=90°，从而得出答案；(2)、要使得△ADE和△AFE全等，则必须满足AF=AD，则AF=AD=4cm；(3)、首先根据△AFE和△ADE全等得出∠D=∠AFE，然后根据平行线的性质以及平角的性质得出∠C=∠BFE，然后结合角平分线和公共边得出三角形全等，然后得出BF=BC=3cm，从而求出AB的长度.

试题解析：(1)、AE⊥BE； ∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠2=∠DAB，∠3=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴∠2+∠3=90°，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BE；

(2)、当点F运动到离点A为4cm（即AF=AD=4cm）时，△ADE≌△AFE；

∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△AFE与△ADE中有∠1=∠2，AE=AE，AF=AD，∴△AFE≌△ADE；

(3)、BF=BC；∵△AFE≌△ADE，∴∠D=∠5，∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∵∠5+∠6=180°，∴∠C=∠6，

在△ECB与△EFB中有∠3=∠4 ∠C=∠6 BE=BE`

∴△ECB≌△EFB，∴BF=BC． ∵AF=AD=4cm，BF=BC=3cm，

∴AB=AF+BF=3+4=7（cm）．