Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？

（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）当t=时，S最小值=

【解析】试题分析：根据勾股定理求得AB=5cm．

（1）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；

（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC-S△BPH”列出S与t的关系式，则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．

试题解析：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．

∴根据勾股定理，得AB= 。（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△AMP∽△ABC时，，即，解得； ②当△APM∽△ABC时，，即，解得t=0（不合题意，舍去）。

综上所述，当时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似。

（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．

理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值。如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC

∴，即。

∴ ∴

∵＞0，

∴S有最小值。当t=时，S最小值= ． 答：当t=时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是。

【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，二次函数最值的求法以及三角形面积公式．解答（1）题时，一定要分类讨论，以防漏解．另外，利用相似三角形的对应边成比例解题时，务必找准对应边．