Question

已知抛物线y=+mx﹣2m﹣2与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，

（1）当m=1时，求点A和点B的坐标；

（2）抛物线上有一点D（﹣1，n），若△ACD的面积为5，求m的值；

（3）P为抛物线上A、B之间一点（不包括A、B），PM⊥x轴于点M，求的值．

Answer

(1)A（﹣4，0），B（2，0）；(2)；(3)2.

【解析】

试题分析：（1）当m=1时，抛物线解析式为y=+x﹣4．然后解方程+x﹣4=0可得A、B的坐标；

（2）过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，如图，解方程+mx﹣2m﹣2=0得=2，=﹣2m﹣2，则A为（﹣2m﹣2，0），B（2，0），易得C（0，﹣2m﹣2），所以OA=OC=2m+2，则∠OAC=45°．利用D（﹣1，n）得到OE=1，AE=EF=2m+1．n=﹣3m﹣，再计算出DF=m+，利用三角形面积公式得到（m+）（2m+2）=5．解方程得到=，=﹣3，最后利用m≥0得到m=；

（3）由（2）得点A（﹣2m﹣2，0），B（2，0）．设点P的坐标为（p，q）．则AM=p+2m+2，BM=2﹣p，AM•BM=﹣2mp+4m+4，PM=﹣q．再利用点P在抛物线上得到q=+mp﹣2m﹣2，所以AM•BM=2 PM，从而得到的值．

试题解析：（1）当m=1时，抛物线解析式为y=+x﹣4．

当y=0时，+x﹣4=0，解得=﹣4，=2．

∴A（﹣4，0），B（2，0）；

（2）过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，如图，

当y=0时，+mx﹣2m﹣2=0，则（x﹣2）（x+2m+2）=0，

解得=2，=﹣2m﹣2，

∴点A的坐标为（﹣2m﹣2，0），B（2，0），

当x=0时，y=﹣2m﹣2，则C（0，﹣2m﹣2），

∴OA=OC=2m+2，

∴∠OAC=45°．

∵D（﹣1，n），

∴OE=1，

∴AE=EF=2m+1．

当x=﹣1时，n=﹣m﹣2m﹣2=﹣3m﹣，

∴DE=3m+，

∴DF=3m+﹣（2m+1）=m+，

又∵S△ACD=DF•AO．

∴（m+）（2m+2）=5．

+3m﹣9=0，解得=，=﹣3．

∵m≥0，

∴m=；

（3）点A的坐标为（﹣2m﹣2，0），点B的坐标为（2，0）．

设点P的坐标为（p，q）．则AM=p+2m+2，BM=2﹣p，

AM•BM=（p+2m+2）（ 2﹣p）=﹣2mp+4m+4，

PM=﹣q．

因为点P在抛物线上，

所以q=+mp﹣2m﹣2．

所以AM•BM=2PM．

即=2．

考点：抛物线与x轴的交点．