Question

如图，在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为A（4，0）、B（0，2），将△ABO绕点P（2，2）顺时针旋转得到△OCD，点A、B和O的对应点分别为点O、C和D，

（1）画出△OCD，并写出点C和点D的坐标；

（2）连接AC，在直线AC的右侧取点M，使∠AMC=45°，

①若点M在x轴上，则点M的坐标为            ；

②若△ACM为直角三角形，求点M的坐标；

（3）若点N满足∠ANC＞45°，请确定点N的位置（不要求说明理由）.

Answer

(1)画图详见解析；C（2，4），D（0，4）；(2)①（6，0）；②点M的坐标为（8，2）或（6，6）；(3)点N在以点（5，3）或点（1，1）为圆心，以为半径的圆内．

【解析】

试题分析：（1）先确定出OA，OB，再由旋转的性质得出OD=4，CD=2，即可得出结论；

（2）先构造出满足条件的点M的位置，利用等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可得出结论；

（3）同（2）①的方法得出结论．

试题解析：（1）如图1，

∵点A和点B的坐标分别为A（4，0）、B（0，2），

∴OA=4，OB=2，

由旋转知，△POD≌△PAO，△PCD≌△PBO，

∴OD=OA=4，CD=OB=2，

∴C（2，4），D（0，4）；

（2）①如图2，

∵A（4，0），C（2，4），

∴AC=，

以AC为斜边在直线AC右侧作等腰直角三角形ACO′，以O′为圆心，O′A为半径作圆，

∴∠AMC=∠AO′C=45°，

过点O′作O′G⊥AC，

∵A（4，0），C（2，4），

∴G（3，2），

∴直线AC的解析式为y=﹣2x+8，

∴直线O′G的解析式为y=，

设点O′的坐标为（m，），

∴==，

∴m=5或m=1（点O′在直线AC右侧，所以舍去），

∴O′（5，3），

∴O′A=，

在Rt△AO′N中，O′N=3，AN==1，

∴AM=2AN=2，

∴M（6，0）；

故答案为:（6，0），

②如图3，

当∠CAM为直角时，

分别过点C，M作x轴的垂线，垂足分别为E，F．

∵CO=CA，

∴OE=AE=OA=2，

∴∠CAE+∠ACE=90°，

∵∠CAE+∠FAM=90°，

∴∠ACE=∠FAM，

在△ACE和△MAF中∠AEC=∠MFA，∠ACE=∠FAM，AC=AM，

∴△CEA≌△AFM，

∴MF=AE=2，AF=CE=4，

∴OF=8，

∴M（8，2）；

当∠ACM为直角时，

同理可得M（6，6）；

综上所述，点M的坐标为（8，2）或（6，6）．

（3）如图3，

∵A（4，0），C（2，4），

∴AC=，

以AC为斜边在直线AC右侧作等腰直角三角形ACO′，以O′为圆心，O′A为半径作圆，

∴∠ANC＜∠AO′C=45°，

过点O′作O′G⊥AC，

∵A（4，0），C（2，4），

∴G（3，2），直线AC的解析式为y=﹣2x+8，

∴直线O′G的解析式为y=，

设点O′的坐标为（m，），

∴==，

∴m=5或m=1，

∴O′（5，3）或（1，1），

∵A（4，0），

∴O′A=，

∴点N在以点（5，3）或点（1，1）为圆心，以为半径的圆内．

考点：三角形综合题．