Question

如图，抛物线y=+bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．

（2）试判断△BCD的形状，并予证明．

（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y=﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）；(2)△DCB为直角三角形，理由详见解析；(3) 存在满足条件的点P，其坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）或（﹣1，6）．

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线的对称性得到点B的坐标为（﹣3，0），故设抛物线为两点式方程y=a（x﹣1）（x+3），把点C的坐标代入即可求得a的值；利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；

（2）过D作DT⊥y轴于T，则可求得∠DCT=45°，∠BCO=45°，则可判断△BCD的形状；

（3）可设出P（﹣1，t），则可分别表示出AP、CP、AC的长度，分AP=CP、AP=AC和CP=AC三种情况分别可得到关于t的方程，可求得P点坐标．

试题解析：（1）点A（1，0）关于x=﹣1的对称点B（﹣3，0），

设过A（1，0）、B（﹣3，0）的抛物线为y=a（x﹣1）（x+3），

该抛物线又过C（0，3），则有：3=﹣3a，解得a=﹣1，

即y==﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）；

（2）△DCB为直角三角形，理由如下：

过D点，作DT⊥y轴于T，如图1，

则T（0，4）．

∵DT=TC=1，

∴△DTC为等腰直角三角形，

∴∠DCT=45°，

同理可证∠BCO=45°，

∴∠DCB=90°，

∴△DCB为直角三角形；

（3）设P（﹣1，t），

∵A（1，0），C（0，3），

∴==，==，==10，

∵△APC为等腰三角形，

∴有AP=CP、AP=AC和CP=AC三种情况，

①当AP=CP时，则有=，即=，解得t=1，此时P（﹣1，1）；

②当AP=AC时，则有=，即=10，解得t=，此时P（﹣1，）或（﹣1，）；

③当CP=AC时，则有=，即=10，解得t=0或t=6，此时P（﹣1，0）或P（﹣1，6）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）或（﹣1，6）．

考点：二次函数综合题．