Question

如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=α，若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．

（1）当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2，则此时旋转角为        （用含的式子表示）．

（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．

Answer

(1) 2α；(2)正确，理由详见解析.

【解析】

试题分析：（1）如图2，利用互余得到∠BAC=90°﹣α，再根据旋转的性质得∠ACD等于旋转角，CD=CA，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACD=2α；

（2）过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，通过证明△CBN≌△CEM得到BN=EM，然后根据三角形的面积公式可判断．

试题解析：（1）如图2，∵∠C=90°，∠ABC=∠DEC=α，

∴∠BAC=90°﹣α，

∵△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上，

∴∠ACD等于旋转角，CD=CA，

∴∠CAD=∠CDA=90°﹣α，

∴∠ACD=180°﹣2（90°﹣α）=2α，

即旋转角为2α；

故答案为：2α；

（2）小扬同学猜想是正确的，证明如下：

过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，

∴∠BNC=∠EMC=90°，

∵△ACB≌△DCE，

∴BC=EC，

在△CBN和△CEM中，

∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，

∴△CBN≌△CEM，

∴BN=EM，

∵，，

∵CD=AC，

∴．

考点：旋转的性质．