Question

在△ABC中，∠ACB=90°，O为边AB上的一点，以O为圆心，以OA为半径，作⊙O，交AB于点D，交AC于点E，交BC于点F，且点F恰好是ED的中点，连接DF．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的直径为10，AE=6，求图中阴影部分的面积．

Answer

(1)证明详见解析；(2) 4．

【解析】

试题分析：（1）连接OF，AF，由题意得出，由圆周角定理和等腰三角形的性质得出∠1=∠3，证出AC∥OF，得出∠BFO=∠ACB=90°，即可得出结论；

（2）连接ED，交OF于H，由圆周角定理得出∠AED=90°，由勾股定理求出ED=8，证明四边形ECFH为矩形，得出∠EHO=90°，OF⊥ED，由三角形中位线定理得出OH==3，求出HF=5﹣3=2，得出=4，证出阴影部分的面积与△CEF的面积相等，即可得出答案．

试题解析：（1）连接OF，AF如图，

∵F为的中点，

∴，

∴∠1=∠2，

∵AO=FO，

∴∠3=∠2，

∴∠1=∠3，

∴AC∥OF，

∴∠BFO=∠ACB=90°，

∵F为⊙O上一点，

∴BC为⊙O的切线；

（2）连接ED，交OF于H，如图，

∵AD为⊙O的直径，

∴∠AED=90°，

在Rt△ADE中，ED==8，

∵∠AED=90°=∠ACF=∠BFO，

∴四边形ECFH为矩形，

∴∠EHO=90°，OF⊥ED，

∴H为ED的中点，

∴EH=4，

∵O为AD的中点，

∴OH==3，

∴HF=5﹣3=2，

∴=4，

∵，

∴弓形FD与弓形EF全等，

∴阴影部分的面积与△CEF的面积相等，

故图中阴影部分的面积为4．

考点：切线的判定；扇形面积的计算．