Question

如图，一次函数y=－x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=－+bx+c过A、B两点．

(1)求这个抛物线的解析式；

(2)作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

(3)在(2)的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

Answer

(1)、y=-+3.5x+2；(2)、t=2时，最大值为4；(3)、（0，6），（0，-2）或（4，4）

【解析】

试题分析：(1)、根据题意得出点A和点B的坐标，然后将两点代入函数解析式得出b和c的值，得出函数解析式；(2)、设出点M和点N的坐标，从而得出MN的长度，根据二次函数的性质得出最大值；(3)、根据题意得出点A、点M和点N的坐标，然后根据平行四边形的性质得出三种情况，从而求出点D的坐标.

试题解析：(1)、求A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0） 将x=0，y=2代入y=-+bx+c得c=2

将x=4，y=0代入y=-+bx+c得0=-16+4b+2，解得b=3.5

∴抛物线解析式为：y=-+3.5x+2

(2)、由题意，易得M(t,-t+2), N(t, -+3.5t+2)，从而MN=-+3.5t+2-(-t+2)=-+4t=－

∴当t=2时，MN有最大值4

(3) 、由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．

以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．

当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a） 由AD=MN，得|a-2|=4，解得=6，=-2，

从而D为（0，6）或D（0，-2）

当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，求出直线D1N与D2M的解析式

由两解析式联立解得D为（4，4） 故所求的D点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）

考点：二次函数的性质