Question

问题情境：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC=，AD⊥BC于点D,可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；

（1）特例探究：如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC, CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明：△ABD≌△CAF;

（2）归纳证明：如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC. 求证：△ABE≌△CAF;

（3）拓展应用：如图④，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC.点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为             .

Answer

(1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析；(3)、5.

【解析】

试题分析：(1)、根据垂直得出∠BDA=∠AFC =90°，然后根据双垂直得出∠ABD=∠CAF，从而说明△ABD△CAF全等；(2)、根据∠1＝∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF得出∠ABE=∠CAF，然后同理得出∠BAE=∠FCA，从而得出三角形全等；(3)、根据三角形的面积问题得出答案.

试题解析：(1)、如图② ∵CF⊥AE, BD⊥AE, ∠MAN=900 ∴∠BDA=∠AFC =90o

∴∠ABD+∠BAD=90o ∵∠BAD+∠CAF=90o ∴∠ABD=∠CAF

∴在△ABD和△CAF中 △ABD≌△CAF(AAS)

(2)、如图③ ∵∠1＝∠BAC, ∠1=∠BAE+∠ABE. ∠BAC=∠BAE+∠CAF.

∴∠ABE=∠CAF同理得 ∠BAE=∠FCA .

在△ABE和△CAF中 ∴△ABE≌△CAF(ASA) \

(5)、5

考点：三角形全等的证明