Question

（2016•包河区一模）如图，直线y=k₁x+b₁与反比例函数y=的图象及坐标轴依次相交于A、B、C、D四点，且点A坐标为（﹣3，），点B坐标为（1，n）．

（1）求反比例函数及一次函数的解析式；

（2）求证：AC=BD；

（3）若将一次函数的图象上下平移若干个单位后得到y=k₁x+n，其与反比例函数图象及两坐标轴的交点仍然依次为A、B、C、D．（2）中的结论还成立吗？请写出理由，对于任意k＜0的直线y=kx+b．（2）中的结论还成立吗？（请直接写出结论）

Answer

（1）y=﹣x﹣1（2）证明见解析（3）①成立②成立

【解析】

试题分析：（1）用待定系数法求出直线解析式和反比例函数解析式；

（2）确定出点A，B，C，D，坐标，利用两点间距离公式求解得AC=BD；

（3）①确定出点A，B，C，D，坐标，利用两点间距离公式求解得AC=BD；

②确定出点A，B，C，D，坐标，利用两点间距离公式求解得AC=BD；

试题解析：（1）∵点A坐标为（﹣3，），且在反比例函数y=的图象上，

∴k2=xy=﹣3×=﹣，

∴反比例函数的解析式为：y=﹣；

∵点B坐标为（1，n），且在反比例函数y=的图象上，

∴n=﹣，

∴点B坐标为（1，﹣）；

∴，

解得：，

∴一次函数的解析式为：y=﹣x﹣1；

（2）∵当x=0时，y=﹣1，则点D的坐标为：（0，﹣1）；

当y=0时，x=﹣2，则点C的坐标为：（﹣2，0）；

∴AC==，BD==，

∴AC=BD；

（3）①成立，

理由：∵将一次函数的图象上下平移若干个单位后得到y=k1x+n，

∴y=﹣x+n，

∴C（2n，0），D（0，n），

∵反比例函数的解析式为：y=﹣和一次函数y=﹣x+n，

∴它两的交点坐标为A（n+，），B（n﹣，），

∴AC=，

BD=，

∴AC=BD

②AC=BD，

理由：同①的方法求出直线y=kx+b与x，y轴的交点坐标C（﹣，0），D（0，b），

联立直线解析式和反比例函数解析式y=﹣求出交点坐标A（，b+），B（，b+），

用平面坐标系内，两点间的距离公式求解得，AC=BD．

考点：反比例函数综合题