Question

（2016•包河区一模）如图1，在▱ABCD中，E、F两点分别从A、D两点出发，以相同的速度在AD、DC边上匀速运动（E、F两点不与▱ABCD的顶点重合），连结BE、BF、EF．

（1）如图2，当▱ABCD是矩形，AB=6，AD=8，∠BEF=90°时，求AE的长．

（2）如图2，当▱ABCD是菱形，且∠DAB=60°时，试判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）如图3，在第（2）题的条件下，设菱形ABCD的边长为a，AE的长为x，试求△BEF面积y与x的函数关系式，并求出y的最小值．

Answer

（1）2；（2）等边三角形；（3）

【解析】

试题分析：（1）依据矩形的性质可知∠D=∠A=90°，接下来，依据同角的余角相等可得到∠DFE=∠AEB，然后依据ASAS证明△DEF≌△ABE，依据全等三角形的性质可得到DE=6，从而可求得AE的长；

（2）连结BD．首先证明△ADB为等边三角形，于是得到BD=BC，然后再证明△BED≌△BFC，△AEB≌△DFB，由全等三角形的性质得到BE=BF，∠ABE=∠DBF，接下来证明∠EBF=60°，从而可判定△EBF为等边三角形．

（3）过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．首先依据特殊锐角三角函数值可求得EM=x，NE=（a﹣x），BG=a，然后依据△EFB的面积=菱形的面积﹣△AEB的面积﹣△DFE的面积﹣△FCB的面积列出y与x的函数关系式，最后依据二次函数的性质求解即可．

试题解析：（1）如图1所示：

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠D=∠A=90°．

∵∠BEF=90°，

∴∠DEF+∠AEB=90°．

又∵∠DEF+∠DFE=90°，

∴∠DFE=∠AEB．

在△DEF和△ABE中，

∴△DEF≌△ABE．

∴AB=DE=6．

∴AE=AD﹣DE=8﹣6=2．

（2）如图2所示：连结BD．

∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，

∴AD=AB=DC=BC，∠EDB=60°．

∵∠A=60°，AD=AB，

∴△ADB为等边三角形．

∴AD=AB=BD．

∴DB=BC．

∵AD=DC，AE=DF，

∴DE=FC．

在△BED和△BFC中，，

∴△BED≌△BFC．

∴BE=BF．

在△AEB和△DFB中，

∴△AEB≌△DFB．

∴∠ABE=∠DBF．

∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠ABE+∠EBD=60°．

∴△EBF为等边三角形．

（3）如图3所示：过点E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足为M、N，过点B作BG⊥DC，垂足为G．

∵AE=DF=x，

∴DE=FC=a﹣x．

∵∠A=∠NDE=∠C=60°，

∴EM=x，NE=（a﹣x），BG=a．

∵△EFB的面积=菱形的面积﹣△AEB的面积﹣△DFE的面积﹣△FCB的面积，

∴y=a·a﹣a·x﹣·x·（a﹣x）﹣·（a﹣x）·a．

∴y=x2﹣ax+a2．

∴当x=时，y取得最小值为．

考点：四边形综合题