Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b²＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（  ）

A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤

Answer

D

【解析】

试题分析：根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．

①∵函数开口方向向上， ∴a＞0； ∵对称轴在y轴右侧 ∴ab异号，

∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确；

②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1， ∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），

∴当x=2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故②错误； ③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），

∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0， ∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，

∵对称轴为直线x=1 ∴-=1，即b=﹣2a， ∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，

∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0 ∵8a＞0 ∴4ac﹣b2＜8a 故③正确

④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间， ∴﹣2＜c＜﹣1 ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，

∴＞a＞； 故④正确 ⑤∵a＞0， ∴b﹣c＞0，即b＞c； 故⑤正确；

考点：二次函数的性质．