Question

在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，1.5），我们把以点C为圆心，半径为1.5的圆称为点C的朋友圈，圆周上的每一个点叫做点C的一个好友．

（1）写出点C的两个好友坐标；

（2）直线l的解析式是y=x﹣4，与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当点C的朋友圈有好友落在直线上时，直线将受其影响，求在点C向下运动的过程中，直线受其影响的时间；

（3）抛物线y=ax²+bx+c过原点O和点A，且顶点D恰好为点C的好友，连接OD．E为⊙C上一点，当△DOE面积最大时，求点E的坐标，此时△DOE的面积是多少？

Answer

（1）点（0，0）、（0，3）为点C的好友；（2）在点C向下运动的过程中，直线受其影响的时间为6≤t≤16；（3）当△DOE面积最大时，点E的坐标为（﹣，），此时△DOE的面积是．

【解析】

试题分析：（1）由朋友圈以及好友的定义，结合图形，即可得出结论；（2）设圆心C往下运动了t秒，则点C的坐标为（0，1.5﹣0.5t），根据好友的定义，结合点C到直线l的距离小于等于1.5，即可得出关于时间t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；（3）根据二次函数的性质找出抛物线的对称轴，结合函数图象以及好友的定义找出点D的坐标；连接OD，过点C作CM⊥OD于点M，延长MC交圆C于点E，连接EO、ED，通过垂径定理、解直角三角形求出线段EM的长，再结合三角形的面积公式即可求出S△DOE的值，由点C、M点的坐标利用待定系数法求出直线CM的解析式，设出点E的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出点E的坐标，此题得解．

试题解析：（1）1.5﹣1.5=0，1.5+1.5=3，

∴点（0，0）、（0，3）到点C的距离为1.5，

∴点（0，0）、（0，3）为点C的好友．

（2）设圆心C往下运动了t秒，则点C的坐标为（0，1.5﹣0.5t），

直线l：y=x﹣4可变形为4x﹣3y﹣12=0，

点C到直线l的距离d==|0.3t﹣3.3|，

当直线受圆C影响时，有d≤1.5，即|0.3t﹣3.3|≤1.5，

解得：6≤t≤16．

∴在点C向下运动的过程中，直线受其影响的时间为6≤t≤16．

（3）令y=x﹣4中y=0，则x﹣4=0，

解得：x=3，即点A的坐标为（3，0）．

依照题意画出图形，如图1所示．

∵抛物线y=ax2+bx+c过原点O和点A，点O（0，0），点A（3，0），

∴抛物线的对称轴为x==1.5，

∵点D恰好为点C的好友，

∴点D的坐标为（1.5，1.5）．

连接OD，过点C作CM⊥OD于点M，延长MC交圆C于点E，连接EO、ED，此时S△DOE最大，如图2所示．

∵OD是圆C的弦，CM⊥OD，

∴点M为线段OD的中点，

∴点M的坐标为（，）、OM= =，

在Rt△CMO中，OM=，CO=1.5=，

∴CM==．

∵CE=1.5=，EM=EC+CM，

∴EM=，

此时S△DOE=OD•EM=OM•EM=×=．

设直线CM的解析式为y=mx+n，

∵点C的坐标为（0，1.5）、点M的坐标为（，）即（0.75，0.75），

∴，解得： ，

∴直线CM的解析式为y=﹣x+1.5．

设点E的坐标为（x，﹣x+1.5）（x＜0），

∵EC==1.5，

∴x=﹣，或x=（舍去），

∴点E的坐标为（﹣，）．

故当△DOE面积最大时，点E的坐标为（﹣，），此时△DOE的面积是．

考点：二次函数综合题．