Question

如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．

Answer

(1)详见解析；（2）⊙O的直径为．

【解析】

试题分析：（1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；

（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC==，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．

试题解析：（1）证明：∵AB=AC，AD=DC，

∴∠C=∠B，∠1=∠C，

∴∠1=∠B，

又∵∠E=∠B，

∴∠1=∠E，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE=90°，

∴∠E+∠EAD=90°，

∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，

∴AE⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）【解析】
过点D作DF⊥AC于点F，如图，

∵DA=DC，

∴CF=AC=3，

在Rt△CDF中，∵sinC==，

设DF=4x，DC=5x，

∴CF==3x，

∴3x=3，解得x=1，

∴DC=5，

∴AD=5，

∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，

∴△ADE∽△DFC，

∴，即，解得AE=，

即⊙O的直径为．

考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．