Question

已知抛物线y₁=x²+bx+c的顶点坐标为（﹣1，1），直线1的解析式为y₂=2mx+3m²+4nm+4n²，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点．

（1）求b、c的值；

（2）若函数y₁+y₂的图象与x轴始终有公共点，求直线l的解析式；

（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB为等腰角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）b的值为2，c的值为2；（2）当△PAB是等腰三角形时，点P坐标为（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，2）．

【解析】

试题分析：（1）利用顶点坐标公式，待定系数法列出方程组即可解决问题．（2）根据△≥0，以及非负数的性质即可解决问题．（3）首先求出A、B坐标，分三种情形讨论即可①当BA=BP时，②当AB=AP时，③当PA=PB时．

试题解析：（1）∵抛物线y1=x2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，1），

∴，解得：，

∴b的值为2，c的值为2．

（2）y1+y2=x2+2x+2+2mx+3m2+4nm+4n2=x2+（2+2m）x+3m2+4nm+4n2+2，

∵函数y1+y2的图象与x轴始终有公共点，

∴△=（2+2m）2﹣4×1×（3m2+4nm+4n2+2）≥0，即﹣4（m﹣1）2﹣4（m+2n）2≥0．

∵（m﹣1）2≥0，（m+2n）2≥0，

∴m=1，n=﹣，

∴直线l的解析式为y=2x+2．

（3）如图，A（﹣1，0），B（0，2）．AB==，对称轴x=﹣1，

①当BA=BP时，可得P1（﹣1，4），

②当AB=AP时，可得P2（﹣1，），P3（﹣1，﹣），

③当PA=PB时，可得P4（﹣1，2）．

综上所述，当△PAB是等腰三角形时，点P坐标为（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，2）．

考点：二次函数综合题．