Question

如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB．

（1）求证：PE=PD；

（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．

Answer

（1）详见解析；（2）∠PED=45°，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质四条边都相等可得BC=CD，对角线平分一组对角线可得∠ACB=∠ACD，然后利用“边角边”证明△PBC和△PDC全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=PD，然后等量代换即可得证；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠PBC=∠PDC，根据等边对等角可得∠PBC=∠PEB，从而得到∠PDC=∠PEB，再根据∠PEB+∠PEC=180°求出∠PDC+∠PEC=180°，然后根据四边形的内角和定理求出∠DPE=90°，判断出△PDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠ACB=∠ACD，

在△PBC和△PDC中，

，

∴△PBC≌△PDC（SAS），

∴PB=PD，

∵PE=PB，

∴PE=PD；

（2）判断∠PED=45°．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

∵△PBC≌△PDC，

∴∠PBC=∠PDC，

∵PE=PB，

∴∠PBC=∠PEB，

∴∠PDC=∠PEB，

∵∠PEB+∠PEC=180°，

∴∠PDC+∠PEC=180°，

在四边形PECD中，∠EPD=360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD=360°﹣180°﹣90°=90°，

又∵PE=PD，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴∠PED=45°．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．