Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°。

(1)求∠ABC的度数；

(2)求证：AE是⊙O的切线；

(3)当BC＝4时，求劣弧的长。（本题12分）

Answer

(1)、60°；(2)、证明过程见解析；(3)、π

【解析】

试题分析：(1)、根据同弧所对的圆周角相等得出答案；(2)、根据直径得出∠BAC＝30°，从而得出∠BAE=90°，然后得出切线；(3)、连接OC，从而得出△OBC为等边三角形，然后得出∠AOC=120°，最后根据弧长的计算公式得出答案.

试题解析：(1)、∵∠ABC与∠D都是所对的圆周角，∴∠ABC＝∠D＝60°.

(2)、∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝30°，

∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°， 即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线．

(3)、如图，连接OC. ∵OB＝OC，∠ABC＝60°， ∴△OBC是等边三角形，

∴OB＝BC＝4，∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝120°. ∴的长度为＝＝π.

考点：圆的基本性质