Question

如图，正方形ABCD的边长为1，点P在射线BC上（异于点B、C），直线AP与对角线BD及射线DC分别交于点F、Q．

（1）若BP=，求∠BAP的度数；

（2）若点P在线段BC上，过点F作FG⊥CD，垂足为G，当△FGC≌△QCP时，求PC的长；

（3）以PQ为直径作⊙M．

①判断FC和⊙M的位置关系，并说明理由；

②当直线BD与⊙M相切时，直接写出PC的长．

Answer

（1）∠BAP=30°；（2）；（3）①FC与⊙M相切；②PC=或．

【解析】

试题分析：（1）在直角△ABP中，利用特殊角的三角函数值求∠BAP的度数；

（2）设PC=x，根据全等和正方形性质得：QC=1﹣x，BP=1﹣x，由AB∥DQ，得，代入列方程求出x的值，因为点P在线段BC上，所以x＜1，写出符合条件的PC的长；

（3）①如图2，当点P在线段BC上时，FC与⊙M相切，只要证明FC⊥CM即可，先根据直角三角形斜边上的中线得CM=PM，则∠MCP=∠MPC，从而可以得出∠MCP+∠BAP=90°，再证明△ADF≌△CDF，得∠FAD=∠FCD，则∠BAP=∠BCF，所以得出∠MCP+∠BCF=90°，FC⊥CM；

如图3，当点P在线段BC的延长线上时，FC与⊙M相切，同理可得∠MCD+∠FCD=90°，则FC⊥CM，FC与⊙M相切；

②当点P在线段AB上时，如图4，设⊙M切BD于E，连接EM、MC，设∠Q=x，根据平角BFD列方程求出x的值，作AP的中垂线HN，得∠BHP=30°，在Rt△BHP中求出BP的长，则得出PC=；当点P在点C的右侧时（即在线段BC的延长线上），如图5，同理可得：PC=．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABP=90°，∴tan∠BAP==，∵tan30°=，∴∠BAP=30°；

（2）如图1，设PC=x，则BP=1﹣x，∵△FGC≌△QCP，∴GC=PC=x，DG=1﹣x，∵∠BDC=45°，∠FGD=90°，∴△FGD是等腰直角三角形，∴FG=DG=CQ=1﹣x，∵AB∥DQ，∴，∴，∴，解得：x1=＞1（舍去），x2=，∴PC=；

（3）①如图2，当点P在线段BC上时，FC与⊙M相切，理由是：

取PQ的中点M，以M为圆心，以PQ为直径画圆，连接CM，∵∠PCQ=90°，PQ为直径，∴点C是圆M上，∵△PCQ为直角三角形，∴MC=PM，∴∠MCP=∠MPC，∵∠APB=∠MPC，∴∠MCP=∠APB，∵∠APB+∠BAP=90°，∴∠MCP+∠BAP=90°，∵AD=DC，∠ADB=∠CDB，FD=FD，∴△ADF≌△CDF，∴∠FAD=∠FCD，∵∠BAP+∠FAD=∠BCF+∠FCD，∴∠BAP=∠BCF，∴∠MCP+∠BCF=90°，∴FC⊥CM，∴FC与⊙M相切；

如图3，当点P在线段BC的延长线上时，FC与⊙M也相切，理由是：

取PQ的中点M，以M为圆心，以PQ为直径画圆，连接CM，同理得∠AQD=∠MCQ，点C是圆M上，∵AD=DC，∠BDA=∠CDB=45°，DF=DF，∴△ADF≌△CDF，∴∠FAD=∠FCD，∵∠AQD+∠FAD=90°，∴∠MCD+∠FCD=90°，∴FC⊥MC，∴FC与⊙M相切；

②当点P在线段AB上时，如图4，设⊙M切BD于E，连接EM、MC，∴∠MEF=∠MCF=90°，∵ME=MC，MF=MF，∴△MEF≌△MCF，∴∠QFC=∠QFE，∵∠BAP=∠Q=∠BCF，设∠Q=x，则∠BAP=∠BCF=x，∠QFE=∠QFC=45°+x，∠DFC=45°+x，∵∠QFE+∠QFC+∠DFC=180°，∴3（45+x）=180，x=15，∴∠Q=15°，∴∠BAP=15°，作AP的中垂线HN，交AB于H，交AP于N，∴AH=AP，∴∠BHP=30°，设BP=x，则HP=2x，HB=x，∴2x+x=1，x=，∴PC=BC﹣BP=1﹣（）=；

当点P在点C的右侧时（即在线段BC的延长线上），如图5，同理可得：PC=；

综上所述：PC=或．

考点：圆的综合题；探究型；分类讨论；压轴题．