Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）长度为的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P₁、Q₁，求四边形PQQ₁P₁面积的最大值；

（3）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S_△AOF=S_△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）E（，）．

【解析】

试题分析：（1）把点A（3，3）代入y=x2+bx中，即可解决问题．

（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PE⊥QQ1于点E，如图1所示．设点P（m，m）（0＜m＜1），则Q（m+2，m+2），P1（m，），Q1（m+2，），构建二次函数，利用二次函数性质即可解决问题．

（3）存在，首先证明EF是线段AM的中垂线，利用方程组求交点E坐标即可．

试题解析：（1）把点A（3，3）代入中，得：3=9+3b，解得：b=﹣2，∴二次函数的表达式为．

（2）设点P在点Q的左下方，过点P作PE⊥QQ1于点E，如图1所示．

∵PE⊥QQ1，QQ1⊥x轴，∴PE∥x轴，∵直线OA的解析式为y=kx，∴∠QPE=45°，∴PE=PQ=2．

设点P（m，m）（0＜m＜1），则Q（m+2，m+2），P1（m，），Q1（m+2，），∴PP1=，QQ1=，∴=（PP1+QQ1）•PE==，∴当m=时，取最大值，最大值为．

（3）存在．

如图2中，点E的对称点为F，EF与AM交于点G，连接OM、MF、AF、OF．

∵S△AOF=S△AOM，∴MF∥OA，∵EG=GF，，∴AG=GM，∵M（1，﹣1），A（3，3），∴点G（2，1），∵直线AM解析式为y=2x﹣3，∴线段AM的中垂线EF的解析式为，由，解得，∴点E坐标为（，）．

考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；存在型；动点型；压轴题．