Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角α（30°＜α＜180°），得到△AO′B′．

（1）当α=60°时，判断点B是否在直线O′B′上，并说明理由；

（2）连接OO′，设OO′与AB交于点D，当α为何值时，四边形ADO′B′是平行四边形？请说明理由．

Answer

（1）点B（0，1）在直线O′B′上；（2）当α=120°时，四边形ADO′B′是平行四边形．

【解析】

试题分析：（1）首先证明∠BAO=30°，再求出直线O′B′的解析式即可解决问题．

（2）如图2中，当α=120°时，四边形ADO′B′是平行四边形．只要证明∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，即可解决问题．

试题解析：解；（1）如图1中，∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（，0），B（0，1），∴tan∠BAO=，∴∠BAO=30°，AB=2OB=2，∵旋转角为60°，∴B′（，2），O′（，），设直线O′B′解析式为y=kx+b，∴，，解得：，∴直线O′B′的解析式为，∵x=0时，y=1，∴点B（0，1）在直线O′B′上．

（2）如图2中，当α=120°时，四边形ADO′B′是平行四边形．

理由：∵AO=AO′，∠OAO′=120°，∠BAO=30°，∴∠DAO′=∠AO′B′=90°，∠O′AO=∠O′AB′=30°，∴AD∥O′B′，DO′∥AB′，∴四边形ADO′B′是平行四边形．

考点：一次函数图象上点的坐标特征；平行四边形的判定；坐标与图形变化-旋转．