Question

抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过原点和点A（4，0），顶点在直线上，P为抛物线上的一个动点．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）如图1，当△POA面积为5时，求点P坐标；

（3）如图2，当点P在x轴上方时，若cos∠OPA=，⊙M经过点O，A，P，求过A点且与⊙M相切的直线解析式．

 

Answer

(1)；(2)或；(3)．

【解析】

试题分析：（1）根据对称性可得抛物线的对称轴为直线x=2，再根据顶点在直线上，就能求出顶点坐标,然后代入就能求出抛物线的解析式;

(2) 由△POA面积为5,求出点P的纵坐标,代入抛物线的解析式即可求出点P的横坐标;

(3) 连接MO、MA，过点M作MC⊥OA于C，设过点A的切线与y轴交于点D，可证∠OPA=∠AMC，从而求出MC的长,再证明△AMC≌△DAO，得到OD=AC,就求出了点D的坐标,依据A,D两点坐标求得直线AD的解析式为．

试题解析：（1）由对称性可知，抛物线的对称轴为直线x=2，

在中，当x=2时，y=﹣2，

∴顶点坐标为（2，﹣2），

∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣2，

把O（0，0）代入解得，

∴，

即；

（2）∵，

∴，

又∵，∴，

在中，当时，，

解得，x1=﹣1，x2=5，

∴或；

（3）如图，连接MO、MA，过点M作MC⊥OA于C，设过点A的切线与y轴交于点D，

可证∠OPA=∠AMC，

∴cos∠AMC=cos∠OPA=，

∵MC⊥OA，

∴，

由勾股定理可得MC=4，

∵AD是⊙M的切线，∴AD⊥AM，

∴△AMC≌△DAO，

∴OD=AC=2，D（0，﹣2），

可求得直线AD的解析式为．

考点：⒈二次函数综合题; ⒉待定系数法求一次函数和二次函数的解析式; ⒊全等三角形的判定与性质.