Question

如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE=CF，DF∥BE，DF=BE．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AC平分∠BAD，求证：▱ABCD为菱形．

Answer

(1)证明见解析; (2)证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)先依据“SAS”证明△ADF≌△CBE，然后根据全等三角形的性质可得AD=CB，∠DAC=∠ACB，进而得到AD∥CB，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形ABCD是平行四边形；

(2)先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC，然后得到AB=BC，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得 ▱ABCD为菱形.

试题解析：（1）∵DF∥BE，

∴∠DFA=∠CEB，

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

即AF=CE，

在△ADF和△CBE中，

∴△ADF≌△CBE（SAS），

∴AD=CB，∠DAC=∠ACB，

∴AD∥CB，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠BAC，

∴∠BAC=∠ACB，

∴AB=BC，

∴▱ABCD为菱形．

考点：⒈平行四边形的判定; ⒉菱形的判定.