Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的高，⊙O的直径AE交BC于点F，点P在BC的延长线上，∠CAP=∠B。

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）求证：PC•PB=PD•PF。

Answer

（1）、证明过程见解析；（2）、证明过程见解析.

【解析】

试题分析：（1）、连接EC，根据∠CAP=∠B得出∠E=∠B=∠CAP，根据直径得出∠ECA=90°，从而说明∠EAP=90°，得出答案；（2）、根据∠P=∠P，∠CAP=∠B得出△PAC∽△PBC，从而得到PA2=PB•PC，根据∠P=∠P，∠ADP=∠FAP得出△ADP∽△FAP，从而说明AP2=DP•PF，根据两个等式得出答案.

试题解析：（1）、连接EC，

∵∠CAP=∠B，

∴∠E=∠B=∠CAP，

∵⊙O的直径AE，

∴∠ECA=90°，

∴∠E+∠EAC=90°，

∴∠EAC+∠CAP=90°，

∴∠EAP=90°，

∴PA是⊙O的切线；

（2）、∵∠P=∠P，∠CAP=∠B，

∴△PAC∽△PBC，

∴，

∴PA2=PB•PC，

∵∠P=∠P，∠ADP=∠FAP，

∴△ADP∽△FAP，

∴，

∴AP2=DP•PF，

∴PC•PB=PD•PF．

考点：（1）、切线的判定；（2）、圆的基本性质；（3）、相似三角形的判定.