Question

如图,在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连接DP交AC于点Q．

（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ；

（2）当点P在AB上运动到什么位置时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；

（3）若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中,当点P运动到什么位置时,△ADQ恰为等腰三角形．

Answer

（1）证明见解析；（2）AP=2；（3）P在B点，C点，或在CP=4（-1）处，△ADQ是等腰三角形．

【解析】

试题分析：（1）可由SAS求得△ADQ≌△ABQ；

（2）过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF，若△ADQ的面积是正方形ABCD面积的，则有S△ADQ=AD•QE=S正方形ABCD，求得OE的值，再利用△DEQ∽△DAP有，解得AP值；

（3）点P运动时，△ADQ恰为等腰三角形的情况有三种：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．由正方形的性质知，①当点P运动到与点B重合时，QD=QA，此时△ADQ是等腰三角形，②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ，△ADQ是等腰三角形，③当AD=AQ=4时，有CP=CQ，CP=AC-AD而由正方形的对角线的性质得到CP的值．

试题解析：（1）在正方形ABCD中，

无论点P运动到AB上何处时，都有

AD=AB，∠DAQ=∠BAQ，AQ=AQ，

∴△ADQ≌△ABQ；

（2）△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时，

过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF，

∵在边长为4的正方形ABCD中，

∴S正方形ABCD=16，

∴AD×QE=S正方形ABCD=×16=，

∴QE=，

∵EQ∥AP，

∴△DEQ∽△DAP，

∴，即，

解得AP=2，

∴AP=2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；

（3）若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，

①当AD=DQ时，则∠DQA=∠DAQ=45°

∴∠ADQ=90°，P为C点，

②当AQ=DQ时，则∠DAQ=∠ADQ=45°，

∴∠AQD=90°，P为B，

③AD=AQ（P在BC上），

∴CQ=AC-AQ=BC-BC=（-1）BC

∵AD∥BC

∴，即可得=1，

∴CP=CQ=（-1）BC=4（-1）

综上，P在B点，C点，或在CP=4（-1）处，△ADQ是等腰三角形．

考点：正方形综合题.