Question

已知：如图，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．

（1）求证：；

（2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？并说明理由.

注：（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半）．

Answer

（1）证明见解析；（2）当BC=AB时，四边形ABFG是菱形．

【解析】

试题分析：（1）根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG；

（2）要使四边形ABFG是菱形，须使AB=BF；根据条件找到满足AB=BF的AB与BC满足的数量关系即可．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD．

∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．

∴CG⊥AD．

∴∠AEB=∠CGD=90°．

∵AE=CG，AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDG．

∴BE=DG；

（2）当BC=AB时，四边形ABFG是菱形．

证明：∵AB∥GF，AG∥BF，

∴四边形ABFG是平行四边形．

∵Rt△ABE中，∠B=60°，

∴∠BAE=30°，

∴BE=AB．（直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半）

∵BE=CF，BC=AB，

∴EF=AB．

∴AB=BF．

∴四边形ABFG是菱形．

考点：1.菱形的判定；2.平行四边形的性质；3.平移的性质．