Question

如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.

（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.

（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.

Answer

（1）△AED≌△CEB′；证明见解析；（2）4.

【解析】

试题分析：（1）由折叠的性质知，CB′=BC=AD，∠B=∠B′=∠D=90°，∠B′EC=DEA，则由AAS得到△AED≌△CEB′；

（2）延长HP交AB于M，则PM⊥AB，PG=PM，PG+PH=HM=AD，∵CE=AE=CD-DE=8-3=5在Rt△ADE中，由勾股定理得到AD=4，∴PG+PH=HM=AD=4．

试题解析：（1）△AED≌△CEB′

证明：∵四边形ABCD为矩形，

∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，

又∵∠B′EC=∠DEA，

∴△AED≌△CEB′；

（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，

∵CD∥AB，

∴∠CAB=∠ECA，

∴∠EAC=∠ECA，

∴AE=EC=8-3=5．

在△ADE中，AD==4，

延长HP交AB于M，则PM⊥AB，

∴PG=PM．

∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形全等的判定；3.矩形的性质．