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如图,在▱ABCD中,AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC,交CD于点E、F,A...

如图,在▱ABCD中,AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC,交CD于点E、F,AE、BF相交于点M.
(1)试说明:AE⊥BF;
(2)判断线段DF与CE的大小关系,并予以说明.

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(1)因为AE,BF分别是∠DAB,∠ABC的角平分线,那么就有∠MAB=∠DAB,∠MBA=∠ABC,而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补,所以,能得到∠MAB+∠MBA=90°,即得证. (2)两条线段相等.利用平行四边形的对边平行,以及角平分线的性质,可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形,那么就有CF=BC=AD=DE,再利用等量减等量差相等,可证. 【解析】 (1)方法一:如图①, ∵在▱ABCD中,AD∥BC, ∴∠DAB+∠ABC=180°.(1分) ∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC, ∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF.(2分) ∴2∠BAE+2∠ABF=180°. 即∠BAE+∠ABF=90°.(3分) ∴∠AMB=90°. ∴AE⊥BF.(4分) 方法二:如图②,延长BC、AE相交于点P, ∵在▱ABCD中,AD∥BC, ∴∠DAP=∠APB.(1分) ∵AE平分∠DAB, ∴∠DAP=∠PAB.(2分) ∴∠APB=∠PAB. ∴AB=BP.(3分) ∵BF平分∠ABP, ∴AP⊥BF, 即AE⊥BF.(4分) (2)方法一:线段DF与CE是相等关系,即DF=CE,(5分) ∵在▱ABCD中,CD∥AB, ∴∠DEA=∠EAB. 又∵AE平分∠DAB, ∴∠DAE=∠EAB. ∴∠DEA=∠DAE. ∴DE=AD.(6分) 同理可得,CF=BC.(7分) 又∵在▱ABCD中,AD=BC, ∴DE=CF. ∴DE-EF=CF-EF. 即DF=CE.(8分) 方法二:如图,延长BC、AE设交于点P,延长AD、BF相交于点O, ∵在▱ABCD中,AD∥BC, ∴∠DAP=∠APB. ∵AE平分∠DAB, ∴∠DAP=∠PAB. ∴∠APB=∠PAB. ∴BP=AB. 同理可得,AO=AB. ∴AO=BP.(6分) ∵在▱ABCD中,AD=BC, ∴OD=PC. 又∵在▱ABCD中,DC∥AB, ∴△ODF∽△OAB,△PCE∽△PBA.(7分) ∴=,=. ∴DF=CE.(8分)
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考点分析:
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已知:等腰Rt△ABC中,∠A=90°,
(1)如图1,E为AB上任意一点,以CE为斜边作等腰Rt△CDE,连接AD,则有AD∥BC;
(2)若将等腰Rt△ABC改为正△ABC,如图2所示,E为AB边上任一点,△CDE为正三角形,连接AD,上述结论还成立吗?答______
(3)若△ABC为任意等腰三角形,AB=AC,如图3,E为AB上任一点,△DEC∽△ABC,连接AD,请问AD与BC的位置关系怎样?答:______
请你在上述3个结论中,任选一个结论进行证明.

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如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC、CD于点P、Q.
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);
(2)求BP:PQ:QR.

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(1)如图1,已知正方形ABCD,E是AD上一点,F是BC上一点,G是AB上一点,H是CD上一点,线段EF、GH交于点O,∠EOH=∠C,求证:EF=GH;
(2)如图2,若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”,其他条件不变,探索线段EF与线段GH的关系并加以证明;
(3)如图3,若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且AD=mAB,其他条件不变,探索线段EF与线段GH的关系并加以证明;
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附加题:根据前面的探究,你能否将本题推广到一般的平行四边形情况?若能,写出推广命题,画出图形,并证明,若不能,说明理由.
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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动;点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q作射线QK⊥AB,交折线BC-CA于点G.点P,Q同时出发,当点P绕行一周回到点D时停止运动,点Q也随之停止.设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)D,F两点间的距离是______
(2)射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分?若能,求出t的值;若不能,说明理由;
(3)当点P运动到折线EF-FC上,且点P又恰好落在射线QK上时,求t的值;
(4)连接PG,当PG∥AB时,请直接写出t的值.

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如图,▱ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=manfen5.com 满分网CD.
(1)求证:△ABF∽△CEB;
(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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