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(1)如图1,已知正方形ABCD,E是AD上一点,F是BC上一点,G是AB上一点...

(1)如图1,已知正方形ABCD,E是AD上一点,F是BC上一点,G是AB上一点,H是CD上一点,线段EF、GH交于点O,∠EOH=∠C,求证:EF=GH;
(2)如图2,若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”,其他条件不变,探索线段EF与线段GH的关系并加以证明;
(3)如图3,若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,且AD=mAB,其他条件不变,探索线段EF与线段GH的关系并加以证明;
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附加题:根据前面的探究,你能否将本题推广到一般的平行四边形情况?若能,写出推广命题,画出图形,并证明,若不能,说明理由.
(1)可通过构建全等三角形来求解.分别过G、F作GN∥AD,FM∥CD,那么FM=GN,∠EMF=∠GNH=90°,而∠OGN和∠OFM都是等角的余角,因此三角形EFM和HGN全等,那么可通过全等三角形EFM和HGN来得出GH=EF. (2)(3)(4)方法同(1)都是分别过G、F作AD、CD的垂线,根据∠GOF=∠A,来得出三角形HGN和EFM中的∠HGN和∠EFM相等,然后再得出全等或相似. 证明:(1)如图1,过点F作FM⊥AD于M,过点G作GN⊥CD于N, 则FM=GN=AD=BC,且GN⊥FM,设它们的垂足为Q,设EF、GN交于R ∵∠GOF=∠A=90°, ∴∠OGR=90-∠GRO=90-∠QRF=∠OFM. ∵∠GNH=∠FME=90°,FM=GN, ∴△GNH≌△FME. ∴EF=GH. (2)如图2,过点F作FM⊥AD于M,过点G作GN⊥CD于N,设EF、GN交于R、GN、MF交于Q, 在四边形MQND中,∠QMD=∠QND=90° ∴∠ADC+∠MQN=180°. ∴∠MQN=∠A=∠GOF. ∵∠ORG=∠QRF, ∴∠HGN=∠EFM. ∵∠A=∠C,AB=BC, ∴FM=AB•sinA=BC•sinC=GH. ∵∠FEM=∠GNH=90°, ∴△GNH≌△FME. ∴EF=GH. (3)如图3,过点F作FM⊥AD于M,过点G作GN⊥CD于N,设EF、GN交于R、GN、MF交于Q, ∵∠GOF=∠A=90°, ∴∠OGR=90-∠GRO=90-∠QRF=∠OFM. ∵∠GNH=∠FME=90°, ∴△GNH∽△FME. ∴. 附加题 已知平行四边形ABCD,E是AD上一点,F是BC上一点,G是AB上一点,H是CD上一点,线段EF、GH交于点O,∠EOH=∠C,AD=mAB,则GH=mEF. 证明:如图,过点F作FM⊥AD于M,过点G作GN⊥CD于N,设EF、GN交于R、GN、MF交于Q, 在四边形MQND中,∠QMD=∠QND=90°, ∴∠BDC+∠MQN=180°. ∴∠MQN=∠A=∠GOF. ∵∠ORG=∠QRF, ∴∠HGN=∠EFM. ∵∠FEM=∠GNH=90°, ∴△GNH∽△FME. ∴. 即GH=mEF.
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考点分析:
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(4)连接PG,当PG∥AB时,请直接写出t的值.

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已知一个直角三角形纸片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D.
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(Ⅱ)若折叠后点B落在边OA上的点为B′,设OB′=x,OC=y,试写出y关于x的函数解析式,并确定y的取值范围;
(Ⅲ)若折叠后点B落在边OA上的点为B″,且使B″D∥OB,求此时点C的坐标.

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如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC边于点E.
(1)求证:△ABF∽△COE;
(2)当O为AC的中点,manfen5.com 满分网时,如图2,求manfen5.com 满分网的值;
(3)当O为AC边中点,manfen5.com 满分网时,请直接写出manfen5.com 满分网的值.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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