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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是A...

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动;点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q作射线QK⊥AB,交折线BC-CA于点G.点P,Q同时出发,当点P绕行一周回到点D时停止运动,点Q也随之停止.设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)D,F两点间的距离是______
(2)射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分?若能,求出t的值;若不能,说明理由;
(3)当点P运动到折线EF-FC上,且点P又恰好落在射线QK上时,求t的值;
(4)连接PG,当PG∥AB时,请直接写出t的值.

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(1)由中位线定理即可求出DF的长; (2)连接DF,过点F作FH⊥AB于点H,由四边形CDEF为矩形,QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分,根据△HBF∽△CBA,对应边的比相等,就可以求得t的值; (3)①当点P在EF上(2≤t≤5时根据△PQE∽△BCA,根据相似三角形的对应边的比相等,可以求出t的值; ②当点P在FC上(5≤t≤7)时,PB=PF+BF就可以得到; (4)当PG∥AB时四边形PHQG是矩形,由此可以直接写出t. 【解析】 (1)Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50, ∵D,F是AC,BC的中点, ∴DF为△ABC的中位线, ∴DF=AB=25 (2)能. 如图1,连接DF,过点F作FH⊥AB于点H, ∵D,F是AC,BC的中点, ∴DE∥BC,EF∥AC,四边形CDEF为矩形, ∴QK过DF的中点O时,QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分 此时QH=OF=12.5.由BF=20,△HBF∽△CBA,得HB=16. 故t==. (3)①当点P在EF上(2≤t≤5)时, 如图2,QB=4t,DE+EP=7t, 由△PQE∽△BCA,得. ∴t=4; ②当点P在FC上(5≤t≤7)时, 如图3,已知QB=4t,从而PB===5t, 由PF=7t-35,BF=20,得5t=7t-35+20. 解得t=7; (4)如图4,t=1;如图5,t=7. (注:判断PG∥AB可分为以下几种情形:当0<t≤2时,点P下行,点G上行,可知其中存在PG∥AB的时刻, 如图4;此后,点G继续上行到点F时,t=4,而点P却在下行到点E再沿EF上行,发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB;5≤t≤7当时,点P,G均在FC上,也不存在PG∥AB;由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行,所以在7<t<8中存在PG∥AB的时刻,如图5当8≤t≤10时,点P,G均在CD上,不存在PG∥AB) (4分)
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考点分析:
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如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC边于点E.
(1)求证:△ABF∽△COE;
(2)当O为AC的中点,manfen5.com 满分网时,如图2,求manfen5.com 满分网的值;
(3)当O为AC边中点,manfen5.com 满分网时,请直接写出manfen5.com 满分网的值.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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