Question

已知一元二次方程x²+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的函数关系式；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y=x²+px+q+1与x轴交于A、B两点（A、B不重合），且以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点，求p，q的值．

Answer

（1）把x=2直接代入一元二次方程x2+px+q+1=0中即可得到q关于p的函数关系式；
（2）利用（1）的结论证明抛物线y=x2+px+q的判别式是正数就可以了；
（3）首先求出方程x2+px+q+1=0的两根，然后用p表示AB的长度，表示抛物线顶点坐标，再利用以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点可以得到关于p的方程，解方程即可求出p．
【解析】
（1）由题意得22+2p+q+1=0，即q=-2p-5；

证明：（2）∵一元二次方程x2+px+q=0的判别式△=p2-4q，
由（1）得△=p2+4（2p+5）=p2+8p+20=（p+4）2+4＞0，
∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根，
∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；

【解析】
（3）由题意，x2+px-2p-4=0，
解此方程得x1=2，x2=-p-2 （p≠-4），
∴AB=p+4（p＞-4）或AB=-P-4（P＜-4），
∵y=x2+px-2p-4的顶点坐标是．
以AB为直径的圆经过顶点，或．
解得p=-2或p=-6，
∴或．