Question

如图，△ABC内接于半圆，圆心为O，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：DE=AC；
（3）在（2）的条件下，若△DFG的面积为S，且DG=a，GC=b，试求△BCG的面积．（用a、b、s的代数式表示）

Answer

（1）由于AB是直径，那么∠C=90°，于是∠CBA+∠BAC=90°，而∠MAC=∠ABC，可证∠MAC+∠CAB=90°，即∠BAM=90°，可证MN是⊙O的切线；
（2）连接OD交AC于H，由于D是AC中点，那么OD⊥AC，AH=AC，而∠DOE=∠AOH，∠OHA=∠OED=90°，OA=OD，易证△OAH≌△ODE，从而有DE=AH=AC；
（3）连接AD，由（2）中△OAH≌△ODE，可知∠ODE=∠OAH，再结合OA=OD，易证∠FDA=∠FAD，可得FD=FA，而AB是直径，那么∠ADB=90°，易证FG=DF，从而有FG=FA=FD，那么S△DGF=S△ADG，而根据图易知△BCG∽△ADG，于是有S△BCG：S△ADG=（）2=（）2，易求S△BCG．
【解析】
如右图所示，
（1）∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∴∠CBA+∠BAC=90°，
又∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，
即∠BAM=90°，
∴OA⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；

（2）连接OD交AC于H，
∵D是AC中点，
∴OD⊥AC，AH=AC，
∵∠DOE=∠AOH，∠OHA=∠OED=90°，OA=OD，
∴△OAH≌△ODE，
∴DE=AH=AC；

（3）连接AD，
由（2）知△OAH≌△ODE，
∴∠ODE=∠OAH，
又∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA-∠ODE=∠OAD-∠OAH，
即∠FDA=∠FAD，
∴FD=FA，
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠FDA+∠GDF=90°，∠DAF+∠DGF=90°，
∴∠GDF=∠DGF，
∴FG=DF，
∴FG=FA=FD，
∴S△DGF=S△ADG，
易证△BCG∽△ADG，
∴S△BCG：S△ADG=（）2=（）2，
∴S△BCG=．