Question

如图，第一象限内的点A在反比例函数的图象上，且OA=，OA与x轴正方向的夹角为α，tanα=，
（1）求k的值，并求当y≤1时自变量x的取值范围；
（2）点B（m，-2）也在反比例函数的图象上，连接AB，与x轴交于点C，若AC与x轴正方向的夹角为β，求sinβ的值；
（3）点P在x轴上，且使得△OBP为直角三角形，则P点的坐标为______．

Answer

（1）过A作AE⊥x轴于E，由tan∠AOE=，得到OE=3AE，根据勾股定理即可求出AE和OE的长，即得到A的坐标，代入双曲线即可求出k的值，得到解析式；
（2）把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出B的坐标，把A和B的坐标代入一次函数的解析式即可求出a、b的值，即得到答案．
（3）当BP⊥x轴，以及BP⊥y轴，分别求出即可．
【解析】
（1）过A作AE⊥x轴于E，
tan∠AOE=，
∴OE=3AE
∵OA=，由勾股定理得：OE2+AE2=10，
解得：AE=1，OE=3，
∴A的坐标为（3，1），
A点在双曲线上，
∴1=，
∴k=3，
当y≤1时，x≥3或x＜0；

（2）B（m，-2）在双曲y=上，
∴-2=，
解得：m=-，
∴B的坐标是（-，-2），
代入一次函数的解析式得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=x-1．
sinβ=；

（3）P（-，0）或P（-，0）．